9.05)

Utstrålt effekt $L=7.7\times {10}^{29}W$

Innstrålingstetthet $E=4.7\times {10}^{-12}\frac{W}{m^2}$

a)

Arealet av en tenkt kule som stjernen er sentrum i og som jorda befinner seg på overflaten til er gitt ved $A=4\pi R^2$. Den utstrålte effekten må fordeles på denne kuleoverflata, og den må være lik innstrålingstettheten som vi kjenner på jorda. Altså:

$\frac{L}{A}=E$

Det gir oss:

$\frac{L}{4\pi R^2}=E\iff R^2=\frac{L}{4\mathrm{\pi E}}\iff R=\sqrt{\frac{L}{4\mathrm{\pi E}}}=\sqrt{\frac{7.7\times {10}^{29}}{4\pi \times 4.7\times {10}^{-12}}m=1.141803846\times {10}^{20}m}$

La oss gi svaret i lysår:

$1\mathrm{lysår}=9.46\times {10}^{15}m\iff 1m=\frac{1}{9.46\times {10}^{15}}\mathrm{lysår}$

$R=1.141803846\times {10}^{20}\times \frac{1}{9.46\times {10}^{15}}\mathrm{lysår}=12069.8081\mathrm{lysår}\approx 1.2\times {10}^4\mathrm{lysår}$

b)

Siden vi får vite ved hvilken bølgelengde innstrålingstettheten til Sirius A er størst, er det fristende å tenke på Wiens forskyvningslov:

${\lambda }_{\mathrm{topp}}=\frac{a}{T}\iff T=\frac{a}{{\lambda }_{\mathrm{topp}}}=\frac{2.90\times {10}^{-3}Km}{290\times {10}^{-9}m}=10000K\approx 1.00\times {10}^{4}K$

c)

Utstrålingseffekten fra sola kan finnes ved hjelp av Stefan-Boltzmanns lov og ved å beregne overflaten til sola:

L=$M\times A=\sigma \times T^4\times A=5.67\times {10}^{-8}\times {5762}^4\times 4\times \pi \times {(6.96\times {10}^8)}^{2}W=3.8\times {10}^{26}W$

Utstrålingseffekten fra Sirius A finner vi slik:

$L_{\mathrm{Sirius}A}=E\times 4\pi R^2=1.0\times {10}^{-7}\times 4\times \pi \times {(8.8\times 9.46\times {10}^{15})}^2=8.7\times {10}^{27}W$

Forholdet blir: $\frac{L_{\mathrm{SiriusA}}}{L}$=$\frac{8.7\times {10}^{27}}{3.8\times {10}^{26}}=22.89\approx 23$

Sirius A stråler ut 23 ganger så mye effekt som sola.

d)

I følge Stefan-Boltzmann, så har vi for Sirius A:

$M_{\mathrm{Sirius}A}=\sigma T^4$

Samtidig har vi at $L_{\mathrm{SiriusA}}=M_{\mathrm{SiriusA}}\times A$

Der $A$ er arealet av overflaten til Sirius A.

Ved å kombinere de to formlene får vi:

$L_{\mathrm{SiriusA}}=M_{\mathrm{SiriusA}}\times 4\pi R^2\iff R=\sqrt{\frac{L_{\mathrm{Sirius}A}}{M_{\mathrm{SiriusA}}\times 4\pi }}=\sqrt{\frac{L_{\mathrm{SiriusA}}}{\sigma T^4\times 4\pi }=\sqrt{\frac{8.7\times {10}^{27}}{5.67\times {10}^{-8}\times {10000}^4\times 4\times \pi }}m}$

$R=1.1\times {10}^{9}m$

Forholdet mellom diametrene blir dermed:

$\frac{1.1\times {10}^{9}m}{6.96\times {10}^{8}m}=1.6$

Sirius A har 1.6 ganger så stor diameter som sola.